재미있는 수학이야기-마방진의 비밀

가장 오래 되고 가장 널리 알려진 수학 게임 중 하나가 마방진(魔方陣)이다.

n차 마방진은 1부터 n제곱까지의 수를 가로 세로 각각 n개의 줄이 되도록 정사각형 모양으로 배열한 것으로서 어느 가로 줄에 있는 수의 합이나 세로 줄에 있는 수의 합이나 두개의 대각선 각각에 있는 수의 합이 모두 같은 것이다.

이를테면 다음은 각각 3차 마방진, 4차 마방진의 예이다.

마방진은 영어 magic square를 번역한 말로서 마술적인(魔) 사각형모양(方)의 배열(陣)이란 뜻이다.

2차 마방진은 존재할 수 없지만 3이상의 어떠한 자연수 n에 대해서도 n차 마방진은 존재한다.

마방진은 가로줄, 세로줄, 대각선 위에 있는 수의 합이 마술처럼 일정해서 그런지는 모르겠지만 옛날부터 사람들은 이를 부적처럼 신비스런 것으로 간주한 경우가 많았다.

신비스런 방진의 힘이 순산을 도울거라고 믿고 출산을 위해 진통하는 산모의 배 위에 놓기도 하고 전장에서 군인들의 생명을 지켜줄 것을 기원하는 뜻에서 군복에 새겨 넣기도 하였으며 건축물을 지을 때 악귀의 범접을 막으려고 건물 옆면에 새겨넣기도 하였다.

16세기 초 독일의 광석기술자였던 알브레히트 뒤러는 자신의 관뚜껑에 '멜랑콜리아'라는 그림을 그려 넣었는데 그 그림 속에 위의 그림과 같은 4차 마방진을 새겨 넣었다.

이 마방진의 맨 아랫줄 가운데 두칸의 숫 15와 14는 그가 죽은 해인 1514년을 가리킨다.

최초의 마방진은 기원전 2200년 경 중국에서 발견된 것으로 위 그림의 3차 마방진이다.

중국 하(夏)나라 우왕이 치수 사업을 할 때 낙수(洛水)에서 나온 거북의 등에 이와 같은 마방진이 그려져 있었다고 한다.

(물론 거북의 등에는 9개의 위치에 각각의 수값 만큼의 점이 찍혀 있었다). 그래서 이 마방진을 낙서(洛書)라고도 한다.

낙서의 구성은 서양인들이 부여한 마방진에 대한 의미보다 오묘하다.

동양 사상은 음양오행에 그 바탕을 둔 것이 많다.

음양사상에 의하면 홀수는 양의 수, 짝수는 음의 수로 분류된다.

오행은 세상 만물을 분류하는 항목으로 목(木), 화(火), 토(土), 금(金), 수(水)라는 이름으로 나뉜다.

이를테면 방위의 동, 남, 중앙, 서, 북이 각각 목, 화, 토, 금, 수에 배속되고, 계절의 춘, 하, 사계, 추, 동이 각각 목, 화, 토, 금, 수에 배속된다.

1부터 10까지의 자연수도 3, 8은 목, 2, 7은 화, 5, 10은 토, 4, 9는 금, 1, 6은 수에 배속된다.

동양사상에서는 '목→화→토→금→수→목'의 순서대로 살리고(상생) '목→토→수→화→금→목'의 순서대로 이긴다(상극)고 한다.

낙서를 보면 우선 가운데 있는 5를 중심으로 점대칭인 위치에 있는 두수는 모두 양의수(홀수)이거나 모두 음의 수(짝수)로서 서로 배척하는 성질이 있다.

또 이 표에는 같은 오행에 배속된 두 수가 인접하여 있는데 중앙의 5로부터 밑으로 내려와 시계 반대 방향으로 도는 사이클'5(토)→1,6(수)→2,7(화)→4,9(금)→3,8(목)→5(토)'은 오행사이의 상극의 관계를 나태내고 있다.

복희씨 때 황하강에서 나온 용마의 몸에 낙서와 비슷한 수의 배열이 그려져 있었다고 하는데 이를 황하에서 나온 그림이라 하여 하도(河圖)라고 한다.

하도는 마방진은 아니지만 상생의 관계를 나타내는 수의 배열이다.

황석근(경북대 수학교육학과 교수)