생활속 ­수학이야기- 음료수 통은 왜 원기둥일까

네모난 수박, 세모난 김밥…. 고정관념을 깨는 개성있는 제품들이 눈길을 끄는 시대다.

그런데 캔 음료수통은 한결같이 원기둥 모양뿐일까. 휘발유 통, 보온병 등 액체를 담는 용기도 모두가 원기둥 모양이다.

여기에는 어떤 수학적 비밀이 숨겨져 있는 지 살펴보자.

우선 생각해볼 것은 부피. 용기를 만드는 제조업체의 입장에서 본다면 재료는 적게 들이고 많은 양을 담을 수 있는 용기를 만드는 것이 경제적일 것이다.

정사각형, 정삼각형, 원 모양으로 용기를 만들 경우를 생각해보자. 각 도형의 넓이가 100㎠일 경우 정사각형의 둘레는 40cm이고 정삼각형의 둘레는 45.6cm, 원의 경우 35.4cm(원의 경우 가장 근사치를 구한 값임)가 된다.

밑면의 모양이 정사각형, 정삼각형, 원이고 일정한 높이를 가지는 사각기둥, 삼각기둥, 원기둥으로 캔 음료수 통을 만든다고 가정한다면 액체를 담게 되는 양(밑면의 넓이 ×높이= 들이)은 동일하게 되고, 이 때 음료수통을 만드는데 필요한 재료의 양은 밑면의 넓이가 동일하므로 옆면을 만드는데 필요한 재료 양만 따져 비교해 보면 된다.

옆면의 넓이는 결국 밑면의 둘레 ×높이로 구할 수 있는데 동일한 높이의 경우 밑넓이가 원일 때 가장 둘레가 작았으므로 원기둥 모양의 용기가 그 옆면에 드는 재료가 가장 적다고 볼 수 있다.

이런 이유로 캔 음료수를 비롯한 액체를 담는 용기는 대부분 같은 양을 담되 재료가 가장 적게 드는 원기둥 모양으로 만들어지는 것이다.

하지만 같은 양의 액체를 담는데 원기둥 모양보다 더 적은 비용이 드는 것은 구(球). 그러나 구 모양은 비용은 줄일 수 있으나 용기가 잘 굴러 진열하기도 힘들고, 덮개를 만들기도 어려워 실용적이지 못하다는 단점이 있다.

탄산음료의 경우는 안에 있는 있는 탄산에 의해 통 내부가 강한 압력을 받게 되기 때문에 원구조의 통으로 만들 수 밖에 없다.

원기둥은 압력에 가장 잘 견디는 구조이기 때문. 만일 원기둥이 아닌 다른 모양의 캔을 만든다면 탄산의 압력을 이기지 못해 통이 터져 버릴지도 모른다.

이제 주위를 둘러보고 비슷한 사례를 찾아보자. 물컵은 원 모양이어야지 새지않고 마시기 편하다.

같은 재료로 넓이가 가장 큰 것이 원이기 때문에 물건을 많이 담기 위해 접시도 원 모양으로 만들어진다.

맨홀 뚜껑을 둥글게 만드는 것도 구멍속으로 빠지지 않게 하려는 수학적 원리가 숨어있는 것이다.

그렇다면 꿀벌이 집을 지을 때 원 모양으로 짓지 않고 정육각형 모양으로 짓는 것일까. 원 모양이 경제적이지만 원과 원 모양 사이에는 빈공간이 생기 때문에 그 틈을 없애기 위한 것. 같은 도형을 붙였을 때 빈틈이 생기지 않는 것은 정삼각형, 정사각형, 정육각형 이렇게 세 가지 뿐이다.

이중에서 정육각형이 가장 경제적이기 때문이며, 이는 세 도형 가운데 원 모양에 가장 가깝다는 것을 알 수 있다.

김은영(대구성산초등 교사)