[수학 그까이꺼] 팥빙수 나눠먹기

무척 더운 날이었습니다. 길동 씨의 세 가족은 팥빙수를 사 먹기로 하고 가까운 가게로 들어갔습니다. 세 사람 모두 눈 깜짝할 사이에 시원한 팥빙수를 한 그릇씩 먹었습니다. 하지만 약간 모자란 듯했습니다. 결국 그들은 한 그릇 더 시켜 먹기로 했습니다.

그런데 길동 씨가 이번에는 규칙을 정해서 먹자고 제안했습니다. 세 명이 돌아가면서 한 번씩 먹는데 자기 순서가 오면 남은 양의 1/3씩만을 먹기로 말입니다.

어느 정도 더위가 가신 상태였으므로 모두 좋다고 했습니다. 드디어 주문한 팥빙수 한 그릇이 나왔습니다. 모두 숟가락을 들고 다가앉았습니다. 그런데 그때 외동딸 길순이가 말했습니다.

"그렇게 먹으면 이 팥빙수를 다 먹을 수 있을까요?"

여러분은 어떻게 생각하세요? 이들은 그런 식으로 팥빙수 한 그릇을 다 먹을 수 있을까요?

확인해 보겠습니다.

팥빙수의 양을 편의상 1로 놓고 생각을 해 보도록 하죠. 그러면 제일 먼저 먹는 사람은 1/3을 먹게 되겠지요.

두 번째 먹는 사람은 남은 2/3의 1/3이므로 1/3×2/3을 먹게 됩니다.

1/3씩 먹기로 했으므로 앞 사람이 먹은 양의 두 배에 해당하는 양이 남으므로 세 번째 먹는 사람은 두 번째 사람이 먹은 양의 2배한 양에서 1/3을 먹게 됩니다. 즉, 두 번째 먹은 사람의 양의 2/3를 먹게 되는 셈입니다.

따라서 1/3×2/3×2/3입니다.

이제 규칙이 있다는 걸 발견하셨죠? 자기순서에서 먹는 양은 앞에서 먹은 사람의 2/3가 되는 것입니다.

세 사람이 돌아가면서 먹은 양을 차례대로 적어 합해 보면,

이 됩니다.

이렇게 무한히 더해지는 수들의 합을 구하는 경우를 고등학교 과정에서는 '무한급수'라 합니다.

이 문제처럼 일정한 규칙을 가지고 더해지는 경우는 방정식으로도 풀 수 있습니다.

A＝으로 놓으면

A＝ 이고

따라서 A＝1이 됩니다.

결국 번갈아가면서 1/3씩을 먹으면 다 먹게 된다는 말이죠.

◇지난주 문제의 규칙◇

나뭇조각에 적힌 수는 더하는데, 종이 바로 위에 놓인 나뭇조각의 수는 그냥 더하고 다른 나뭇조각 위에 놓여 있는 것은 그 아래에 놓인 나뭇조각의 수만큼 2를 곱해서 더합니다.

다시 말해, 종이 바로 위에 놓인 나뭇조각의 수는 그냥 더하고, 그 위에 있는 나뭇조각의 수는 2를 곱한 다음에 더하며, 다시 그 위에 놓인 나뭇조각의 수는 2를 두 번 곱한 다음 더하는 것입니다.

따라서 그림의 종이에 들어갈 수는,

11＋15＋(2×2)＋(5×2)＋(4×2×2)＝56이 되죠.