영재교육이야기-창의적 해결력 기르기

수학 창의성을 기르기 위한 기본.기초과정으로서 창의적으로 문제를 해결하는 능력을 기르는 일이 중요하다. 창의적인 문제 해결력을 기르는 단계는 학자들에 따라 여러 가지가 있다. 여기서는 폴리아(Polya.1954)가 권고하는 문제해결 4단계(이해-계획수립-계획의 실행-반성)에 대해서 살펴보도록 한다.

〈그림1 삽입〉

(1)1단계:문제 이해하기=주어진 수는 어떤 수들인가? 한 변에는 ㅇ이 몇 개씩 있는가? 세 수의 합은 얼마이어야 하는가? 각 숫자는 몇 번씩 사용할 수 있는가?

(2)2단계:해결계획 수립하기=이 단계는 어떤 전략을 이용하여 문제를 풀 것인가를 결정하는 단계이다. 여러 가지 해결 전략 중에서 가장 적절하면서도 효율적인 전략을 선택하는 단계이다.

문제를 해결하는 전략에는 '그림을 그려서 해결하기', '표를 만들어서 해결하기', '규칙성을 찾아서 해결하기', '예상하고 확인하여 해결하기' 등 여러 가지가 있다.

문제를 해결하기 위해 적절한 전략이 떠오르지 않을 경우 흔히 사용하는 전략이 '예상하고 확인하기 전략'이다. 이 전략을 이용하여 문제를 풀어보자.

이 전략은 먼저 '해답이 얼마일 것이다'고 예상한 후 답이 맞는지 확인해 보아야 한다. 만약 답이 틀리면 처음 예상한 것을 수정해 다시 답이 얼마일 것이라고 예상해 보고 그 예상이 맞는지를 확인해 보는 일을 반복해야 한다. '예상하고 확인하기' 전략에서 예상하기는 아래와 같은 3가지 접근 방법이 있다.

(3)3단계:계획 실행 〈그림2 삽입〉

△첫번째 접근=임의로 예상하고 확인하기

1)주어진 숫자는 1, 2, 3, 4, 5, 6이며, 삼각형의 각 변에 있는 세 수의 합은 반드시 12가 되어야 한다는 것을 생각하고, 종이를 6장 찢어서 1~6까지의 숫자를 쓰고 배열해 본다.

2)그림에서 제시된 정삼각형 모양으로 종이를 배열하고 합을 계산해 보자. 세 수의 합이 12가 될 때까지 다시 배열해 보라.

△두 번째 접근=체계적으로 예상하고 확인하기

1)숫자를 임의로 옮기는 것보다 가장 작은 수 즉 1, 2, 3을 모서리에 놓고 시작해 본다. 만약 세 수의 합이 12가 되지 않으면 숫자를 1, 2, 4 등으로 바꾸면서 시도해 본다.

2)숫자 1, 2, 3을 모서리에 놓으면 각 변에 있는 세 숫자의 합이 너무 작게 된다. 1, 2, 4도 마찬가지이다. 1, 2, 5와 1, 2, 6을 시도해 보자. 각 변의 합은 여전히 작다. 답이 발견될 때까지 2, 3, 4와 2, 3, 5의 순서로 시도해 본다. 모서리에 4, 5, 6을 놓고 시작해서 3, 4, 5 등을 시도해 볼 수도 있다.

△세번째 접근=추리에 의해 예상하고 확인하기

1)1은 반드시 모서리에 있어야 한다는 가정에서 시작해서 결과를 조사해 본다.

2)처음으로 숫자 1을 모서리에 놓아보자. [그림 1]처럼 숫자 1이 모서리에 놓이게 되면, 나머지 5개의 숫자 중에서 합이 11이 되도록 두 개의 수를 찾아야 한다.

그러나 2, 3, 4, 5, 6 중 어느 두 수의 합이 11인 것은 오직 6+5=11뿐이다. 그러므로 1은 모서리에 올 수 없다.→이번에는 숫자 2를 모서리에 놓아 보자.

그러면 [그림 2]처럼 되며 이 때 남아있는 숫자 중에서 합이 10이 되도록 두 수를 찾아야 한다.

그러나 어느 두 수의 합이 10인 것은 오직 6+4=10뿐이다. 그러므로 숫자 2를 모서리에 놓을 수 없다.→이번에는 숫자 3을 모서리에 놓아보자. 그러면 [그림 3]처럼 된다.

그러나 나머지 숫자 중 어느 두 수의 합이 9인 것은 오직 5+4=9뿐이다. 따라서 모서리에 숫자 3을 놓을 수도 없다.

이와 같은 과정을 통해 숫자 1, 2, 3은 모서리에 놓을 수 없음을 알 수 있다. 따라서 모서리에 놓을 수 있는 숫자는 4, 5, 6이다.→숫자 4, 5, 6을 모서리에 놓아 보자.

그러면 [그림 4]처럼 숫자 5와 6사이에 1을 놓고, 4와 6 사이에 2를 놓고, 4와 5 사이에 3을 놓게 되면 답을 구할 수 있다.

(4)4단계:반성.검토하기

1)검토하기:3가지 다른 방법으로 '예상하고 확인하기' 전략을 사용해 이 문제를 어떻게 풀었는지 살펴보자. '임의로 예상하고 확인하기'는 처음 시작할 때 자주 사용하나 여러 번 시행착오를 거쳐야 하며, 그 횟수가 많으면 앞서서 시행한 것을 잊어버리기 쉽다.

'체계적으로 예상하고 확인하기'는 시행한 모든 경우를 확인할 수 있으므로 좋다. 일반적으로 '추리에 의한 예상하고 확인하기'는 시간을 절약하고 가능한 해답에 관하여 더 많은 정보를 얻을 수 있으므로 앞의 두 가지 방법보다 더 좋다.

2)반성하기:학생의 학습활동에 대한 결과물을 반성.검토해 보는 일은 성공적인 문제 해결의 중요한 단계이다. 학생들의 문제 해결과정에 대해 반성.검토하는 일로서 △가장 효과적인 전략을 활용하였는가? △계산 과정과 계산 결과가 올바른가? △문제 해결에 사용된 자료가 옳은가? △주어진 정보를 빠짐없이 활용하였는가? △또다른 적절한 전략은 없는가? 등에 대해서 살펴보아야 한다.

남승인(대구교대 영재교육원 수학부장)