[수학 그까이꺼] 왜 두 명 이상일까요?

수학에는 쉽고 재미있는 문제만 있는 것은 아닙니다.

실제로 난이도가 높은 수학적 원리로 해결할 수 있는 어렵고 복잡한 문제들도 있지요. 그런 문제는 수학 전공자들의 몫으로 남겨도 될 듯합니다. 하지만 그 외의 문제는 수학적 사고로도 충분히 해결할 수 있답니다.

이번 문제는 언뜻 상당히 어려워 보일 수 있지만, 수학적 논리의 적용이 얼마나 재미있는지 느낄 수 있는 문제입니다.

길동이는 4명의 초등학교 동창생들과 식사를 하기 위해 근사한 레스토랑에 예약을 했습니다. 예약 당일 식당 종업원은 회전 원탁에 길동이를 포함한 5명의 자리를 미리 배치해 이름표를 달아두었습니다. 그런데 이 사실을 알지 못한 그들은 이름표를 확인하지 않고 자리에 앉았고, 앉고 보니 제자리에 앉은 사람이 한 명도 없었습니다.

그들은 기왕 정해 놓은 자리이므로 제자리를 찾아가려고 했습니다. 이때 꾀가 많은 길동이가 재미있는 제안을 했습니다. 원탁은 회전되므로 먼저 원탁을 회전시켜 친구들 이름과 이름표를 최대로 많이 맞춘 다음, 나머지 사람만 움직여서 제자리로 찾아가자는 것이었습니다. 그러면 적어도 몇 명은 움직이지 않아도 되기 때문이죠.

그럼 여기서 반드시 움직이지 않아도 되는 최소한의 사람은 몇 명일까요?(탁자는 여러 바퀴를 돌려도 상관이 없고, 특별한 경우가 아닌 일반적인 경우로 생각해야 합니다.)

원탁을 한 바퀴 완전히 돌려 다시 원래의 위치로 돌아왔다고 생각해봅시다. 원탁이 한 바퀴 도는 동안 자기 앞으로 지나가는 이름표는 모두 5개입니다. 물론 그 중에 하나는 반드시 자신의 이름일 테지요. 이것은 그 자리에 모인 5명 모두에게 똑같이 적용되는 것입니다.

여기에서 우리가 주목해야 할 점은 이름표는 모두 5개이지만 원탁이 제자리로 돌아오기까지 4칸을 지나간다는 사실입니다. 다섯 번째는 원래의 위치가 되고 이때에는 이름표가 맞는 사람이 아무도 없기 때문이지요. 그리고 이것은 5명의 사람이 1칸, 2칸, 3칸, 4칸을 이동하는 동안 이름표가 자신의 이름과 같은 때가 한번은 나와야 한다는 말입니다.

즉, 일반적으로 4번 이동 때 5명 모두가 자기 이름과 같은 이름표가 한 번씩은 나와야 합니다. 따라서 4번 가운데 한 번은 반드시 2명 이상의 사람이 자신의 이름표와 만나는 때가 있어야 하겠지요? 그래서 정답은 바로 '2명'이 되는 거죠.

그래도 논리문제는 상당히 어렵게 느껴지죠? 다음 번에는 수리적인 문제로 만나도록 하겠습니다.

제공 : 김샘학원 교재개발원