생활속 수학이야기-힐베르트의 호텔

여행지에서 찾아간 숙소가 만원이라면 참으로 난감한 일이다.

특히 늦은 밤, 처음 간 곳이라면 더욱 그렇다.

노숙을 할 마음이 아니라면 다른 숙소를 찾아 발걸음을 옮겨야 한다.

'숙소에 방이 무한개가 있다면 어떻게 될까?' 물론 현실 세계에서는 불가능한 호텔 구조지만 '수학 공화국' 호텔에서는 얼마든지 가능하다.

무한개인 방의 번호는 자연수 1, 2, 3, 4…로 순서대로 매겨져 있다.

이 호텔에 방이 만원인 경우 방 하나가 필요한 여행객들이 도착하였다고 가정해 보자. 호텔의 지배인인 수학자 힐베르트(David Hilbert, 1862~1943)는 다음과 같은 해결책을 내 놓았다고 한다.

1번 방에 있던 손님은 2번 방으로, 2번 방에 있던 손님은 3번 방으로, 3번 방에 있던 손님은 4번 방으로…. 이런 방법으로 계속해 나간다.

결국 n번째 방에 있던 손님은 (n+1)번째 방으로 옮기고 방금 도착한 손님을 1번 방에 묵게 하는 것이다.

실제로 호텔에서 그런 일이 발생한다면 손님들의 항의가 빗발치겠지만 말이다.

그 날, 방을 예약하지 않은 손님들이 늦은 밤까지 계속 들이닥쳤다.

모두 20개의 방이 더 필요했다.

결국 손님들은 자기가 묵었던 방의 번호에 20을 더한 수가 적힌 방으로 옮기게 되었다.

모두들 불편했지만 자기들이 겪었던 난감함을 생각하며, 너그러운 마음으로 협조해 주어 큰 문제는 없었다.

몇 시간이 지난 다음 날 새벽, 대형 교통사고로 인한 교통 정체로 그 호텔에 묶을 수 밖에 없는 손님들이 계속해서 몰려들었다.

물론 수학 공화국 호텔에서만 가능한 사건이었다.

그러나 지배인은 당황한 기색이 전혀 없었다.

오히려 여유있는 미소를 지어가며 객실의 손님들에게 다시 한번 양해를 구하는 방송을 했다.

"손님 여러분, 오늘 밤 여러 번 불편을 드려 대단히 죄송합니다.

…마지막으로 한 번만 더 방을 옮겨 주시면 감사하겠습니다.

"

지배인은 손님들에게 룸서비스를 약속하고 협조를 구하는 데 성공했다.

다시 한번 대이동이 시작되었다.

1번 방 손님은 2번 방으로, 2번 방 손님은 4번 방으로, 3번 방 손님은 6번 방으로, 4번 방 손님은 8번 방으로…. 결국 n번 방 손님이 2n번 방으로 옮겨 (2n-1)번 방이 비게 되었다.

이제 힐베르트는 무한히 들어오는 손님들에게 빈 방을 계속해서 제공할 수 있게 되었다.

자기 방을 빼앗긴 손님들은 1명도 없는데 새로운 무한 개의 객실이 비게 된 것이다.

힐베르트의 호텔 방 배정하기 장면을 통해 자연수의 개수는 무한하다는 것, 그리고 무한한 개수에 2를 곱해도 무한한 개수가 되는 자연수의 성질을 알 수 있다.

서찬숙(대구영선초교 교사)