생활속 수학이야기-프랙탈

나뭇가지 하나를 집어들고 몇 걸음 뒤로 물러서 나무 전체를 바라보면서 공통점을 찾아보자.

자세히 들여다보면 아무렇게나 뻗어 있을법한 가지들 하나 하나가 규칙성을 가지고 가지 뻗기를 했다는 것을 발견할 수 있다.

고사리는 어떨까. 줄기부터 바라보면 역시 같은 방식으로 갈라져 있음을 볼 수 있다.

수학자들은 이처럼 전체에 속한 일부분이 전체와 닮아 있을 경우 자기닮음을 갖는다고 말한다.

자기닮음은 대개 반복되어 나타는데 프랑스의 수학자인 망델브로(Mandelbrot:1924~)는 전체와 닮은 불규칙하고 조각난 모양에 프랙탈(fractal)이란 이름을 붙였다.

이번에는 좀더 눈을 크게 뜨고 우리 주변의 프랙탈을 본격적으로 찾아보자.

겨울에 내리는 눈의 입자도 프랙탈 구조를 띤다.

눈의 결정은 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데 부분에 정삼각형을 그리고 다시 정삼각형의 밑변을 잘라내는 과정을 반복한 곡선(코흐 곡선)으로 표현할 수 있다.

습도, 기압, 온도 등의 조건이 복잡하게 얽혀서 그 경로가 구불구불하게 진행하며 가지치기를 하는 번개의 전파 모습도 일종의 프랙탈의 형태를 띤다.

전기의 방전 모양, 마른 땅의 갈라진 모양, 금속의 부식으로 생긴 선의 모양, 해안선의 꼬불꼬불한 모양, 허파의 모양, 신경망의 가지 모양 등에서 이런 프랙탈을 발견할 수 있다.

최적을 추구하는 자연의 본성은 이렇게 프랙탈과 잇닿아 있다.

이런 프랙탈 이론은 과학이나 예술 등 다양한 분야에서 응용되고 있다.

프랙탈 도형을 수학적으로 만들어 보자. 먼저 이 정삼각형의 각 변의 중점을 이어 정삼각형 안에 작은 정삼각형을 그린다.

가운데 작은 정삼각형을 제외한 다른 변의 각 중점을 이어 다시 작은 정삼각형을 그린다.

이런 과정을 반복하면 정삼각형 안에 자신을 닮은 작은 정삼각형들이 생겨난다.

일부를 떼어내어 관찰하면 전체와 같은 구조를 가짐을 발견할 수 있다.

김현자(월곡초등 교사)